Null: Etwa ein Unendlichstel: 0 ≈ 1/∞
(von der positiven Seite)

Null: Etwa ein Minus-Unendlichstel: 0 ≈ 1/-∞
(von der negativen Seite)

Null: Sowohl ein Unendlichstel als auch ein Minus-Unendlichstel:
1/-∞ ≈ 0 ≈ 1/+∞

Eins durch Null: Eins durch ein Unendlichstel:
1/0 ≈ 1/1/∞ (von der positiven Seite)

Eins durch Null: Eins durch ein Minus-Unendlichstel:
1/0 ≈ 1/1/-∞ (von der negativen Seite)

Doppelbruch: 1/1/∞ = ∞ , 1/1/-∞ = -∞

⇒ -∞ ≈ 1/0 ≈ ∞

Kreis der reellen Zahlen. Ausgehend vom Zahlenstrahl.
(Keine komplexe Zahlenebene.)

Der untere Pol ist 0, der obere Pol 1/0.
Der rechte Pol ist 1, der linke Pol ist -1.

Der Kreis hat den Radius r = 1.
Die 1 auf dem Kreis liegt senkrecht über der 1 des Zahlenstrahls.
Der Winkel von 0 bis 1 beträgt im Kreis 90° bzw. π/2 .

Geometrisch:
Tangente vom Punkt des Zahlenstrahls an den Kreis.

Trigonometrisch:
Zahlenstrahl → Kreis: α(x) = 2 arctan x
Kreis → Zahlenstrahl: x(α) = tan(α/2)

Der Kreiswinkel wird von der 0 ab gemessen: α(0) = 0 (0π, 0°)

Zum Beispiel:
x(2π/3) = √3 ⇔ α(√3) = 2π/3 (=120°)
x(π/3) = 1/√3 ⇔ α(1/√3) = π/3 (=60°)
x(3π/4) = √2 + 1 ⇔ α(√2) = 3π/4 (=135°)
x(π/4) = √2 - 1 (= 1/(√2 + 1)) ⇔ α(√2 - 1) = π/4 (=45°)

Die beiden vorzeichenlosen bzw. vorzeichenneutralen Pole
des Kreises (0 und 1/0) liegen auf der senkrechten Mittelachse,
genau übereinander.

Der Kehrwert einer beliebigen Zahl selben Vorzeichens liegt
genau senkrecht auf der gegenüber liegenden oberen oder unteren
Hälfte des Kreises.
Z.B.: α(√3) = 120° und α(1/√3) = 60° (sin 120° = sin 60°).

1 und -1 liegen auf der waagrechten Mittelachse,
genau einander gegenüber. (Sie sind ja auch die einzigen
2 Zahlen, deren Kehrwert wieder sie selbst ergibt...)

Die Negation einer beliebigen Zahl liegt genau waagrecht
auf der gegenüber liegenden Hälfte des Kreises.

Die Tangente selbst hat vom Punkt x auf dem Zahlenstrahl
bis zum Winkel α auf dem Kreis die Länge x des entsprechenden
Zahlenstrahl-Abschnitts.
(Steche einen Zirkel bei x auf dem Zahlenstrahl ein und ziehe
den Bogen vom 0-Punkt zu α auf dem Kreis.)

Kann man das kürzen / vereinfachen?
Ich kenne mich mit Trigonometrie leider nicht so gut aus.
(Info bitte an n punkt kauffmann ät gmx punkt de)

Vom Schnittpunkt (B) der x-Tangente mit der 1-Tangente wird
eine Hilfslinie (h) waagrecht auf den Kreis gezogen.
Der Schnittpunkt (W) der Hilfslinie mit dem Kreis markiert den
entsprechenden Winkel von √x (Berührungspunkt der Tangente x').

Hier wird nur die Entwicklung der Formel hergeleitet.
Dass oder warum die Formel stimmt, steht hier nicht.

Behauptet:
α(√x) = ∠WMC + π/2
(⇒ √x = tan( ∠WMC/2 + π/4) )

Gesucht:
Winkel ∠WMC  (um über die Tangente x' an W die Wurzel von x
auf dem Zahlenstrahl zu erhalten)
Strecke BC = tan (∠BMC)
⇒ ∠WMC = arcsin BC = arcsin( tan (∠BMC) )

Gegeben:
∠AMC = α - π/2  (π/2 ist das untere rechte Kreisviertel)
∠BMC = (∠AMC)/2  (Δ MAB in A rechtwinklig, kongruent zu
Δ MCB in C rechtwinklig, daher teilt MB ∠AMC genau mittig)
⇒ ∠BMC = (α - π/2)/2 = α/2 - π/4

Gefolgert:
α(√x) = arcsin( tan( α/2 - π/4) ) + π/2
Und da α = 2 arctan x :
α(√x) = arcsin( tan( arctan(x) - π/4) ) + π/2
√x = tan( (arcsin( tan(arctan(x) - π/4)) + π/2) /2 )

Wir haben damals mit dem Taschenrechner gerechnet und
verglichen und heute nehme ich dafür Excel, um zwischen
der eingebauten Wurzel und unserer Formel zu vergleichen.

Im Bereich von 0,01 ≤ x ≤ 80 gibt Excel beim Vergleich
zwischen konventionellem und trigonometrischen "Wurzelziehen"
keine Abweichungen an.

Hier eine kleine Übersicht:
 

Ist's nun wirklich die Wurzelformel oder nur eine Annäherung?
Wer will's beweisen? Freiwillige vor!
(Ich kann's nicht.)

© Nicolas Kauffmann & Jörg Siewerth